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Équation de diffusion de Fick

Présentation

La diffusion moléculaire décrit le transport d'espèces chimiques sous l'effet d'un gradient de concentration. Sa formulation mathématique repose sur les lois de Fick, établies au milieu du XIX^e^ siècle (Fick, 1855)1.

Première loi de Fick

En régime stationnaire, le flux de matière \(\mathbf{J}\) est proportionnel au gradient de concentration :

\[ \mathbf{J} = -D \, \nabla C \]

où :

  • \(\mathbf{J}\) est le flux molaire (mol m⁻² s⁻¹),
  • \(D\) est le coefficient de diffusion (m² s⁻¹),
  • \(C\) est la concentration (mol m⁻³),
  • \(\nabla C\) est le gradient spatial de concentration.

Le signe négatif traduit le fait que la diffusion se produit du fort vers le faible potentiel chimique.

Deuxième loi de Fick

En régime transitoire, l'évolution temporelle de la concentration obéit à l'équation aux dérivées partielles suivante (Crank, 1975)2 :

\[ \frac{\partial C}{\partial t} = \nabla \cdot \left( D \, \nabla C \right) \]

Pour un coefficient de diffusion \(D\) constant et isotrope, cette expression se simplifie en :

\[ \frac{\partial C}{\partial t} = D \, \nabla^2 C \]

où \(\nabla^2 = \Delta\) est l'opérateur laplacien. En coordonnées cartésiennes 1D :

\[ \frac{\partial C}{\partial t} = D \, \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \]

Solution analytique (1D, milieu semi-infini)

Pour une condition initiale \(C(x, 0) = 0\) et une condition aux limites \(C(0, t) = C_0\), la solution exacte fait intervenir la fonction d'erreur complémentaire (Crank, 1975)2 :

\[ C(x, t) = C_0 \operatorname{erfc}\!\left( \frac{x}{2\sqrt{D\,t}} \right) \]

La profondeur de pénétration caractéristique est souvent définie comme :

\[ \delta = 2\sqrt{D\,t} \]

Références

  1. Fick, A. (1855). Ueber Diffusion. Annalen Der Physik, 170(1), 59--86. https://doi.org/10.1002/andp.18551700105 ↩

  2. Crank, J. (1975). The mathematics of diffusion (2nd ed.). Oxford University Press. ↩↩